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数学教案整理:《三角函数的周期性》

作者: 小汐   发布时间: 2018-07-24 14:54 浏览: 317

 三角函数的周期性属于比较抽象的概念,在教学过程中,要引导学生从实际生活问题出发逐步抽象出周期性概念,培养数学来源于生活的思维方式。福建教师招考信息网整理本课教案,内如如下:

一、教学目标

(一)知识与技能

1.了解周期函数的概念。

2.会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。

(二)过程与方法

1.组织学生从生活实际问题出发逐步抽象出函数周期性的定义,增强学生分析问题、解决问题的能力。

2.归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期,运用三角函数的性质去解决问题。

(三)情感态度与价值观

培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。

二、教学重难点

(一)教学重点

周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。

(二)教学难点

周期函数的概念

三、教学方法

图示法、创设情境法

四、教学过程

(一)导入

每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。

(二)教学演示:P点的圆周运动

周期性

如图,点P自点A起,绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是:

A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A-B ……

显然点P的运动是周期运动。

设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为 y=f(t)。 

则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0,(位置在A点)

f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4,(位置在C点)

一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:f(t+4)=f(t)

提问:f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?说明它们的实际意义。

总结:f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同。

可以用描点法画出这个函数的图象(如图)

周期性

它的特征是:在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复,这样的函数称为周期函数。

(三)建构教学

一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)=f(x)。

1.周期函数及周期的定义

周期函数定义如下:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

2.最小正周期的概念。

对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

注意:不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期。

3.三角函数的周期

思考:正弦函数y=sinx是周期函数吗?即能否找到非零常数T,使sin(T+x)= sinx成立?

sin(2π+x)=sinx,sin(4π+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2π(最小正值)

用几何画板展示周期函数y=sinx的图象,使学生感知其特征。

讨论:余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数,并找出它们的周期。  

总结:周期分别是2π、π

(四)课堂练习

求下列函数的最小正周期T。

1.周期性

2.周期性

3.周期性

解:

1.周期性

∴ 函数的最小正周期为2π。

2.周期性

∴ 函数的最小正周期为π。

3.周期性

∴ 函数的最小正周期为4π。

总结:一般的,周期函数y=Asin(ωx+ 周期性)及y=Acos(ωx+周期性 )(其中A,ω,周期性为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=周期性 

五、板书设计

1.周期函数、周期概念。

一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π。

3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π。

4.周期函数y=Asin(ωx+周期性)和y=Acos(ωx+周期性) (其中A,ω,周期性为常数,且A≠0,ω>0)的周期的求法。 

这节课由实例引入,以点的圆周运动为模型,通过师生的合作探究,帮助学生更好的理解周期函数及周期的概念。小编提示:课堂的各个教学环节不是一成不变的,应根据课堂上学生的实际情况,灵活组织,充分调动学生的学习主动性,使不同层次的学生都有收获。


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