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高中数学教案:《圆的标准方程》

作者: 小汐   发布时间: 2018-08-30 15:22 浏览: 131

圆是解析几何中一类重要的曲线,学习圆的标准方程,可以进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力。在此之前,学生已经学习了直线方程相关知识,对解析几何有了一定的了解,所以教师可从学过的知识点引入,便于学生理解。福建教师招考信息网整理高中数学《圆的标准方程》教案,看看如何用代数方法研究圆。

一、教学目标

(一)知识与技能

1.推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程。

2.根据圆心坐标、半径写出圆的标准方程。

(二)过程与方法

1.培养学生用解析法研究几何问题的能力。

2.加深学生对数形结合思想的理解。

(三)情感态度与价值观

激发学生的学习兴趣,培养学生主动探究知识、合作交流的意识,提高学生的思维能力。

二、教学重点与难点

(一)教学重点

圆的标准方程的得出与应用。

(二)教学难点

根据不同的已知条件,求圆的标准方程 。

三、教学过程

(一)引入

通过上一章的学习,我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示,称此方程为直线的方程。事实上,这种方法是解析几何解决问题的基本方法,我们还可以采用它研究其他的一些平面图形,比如:圆。在直角坐标系中,两点确定一条直线,或者一点和倾斜角也能确定一条直线。圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?(圆心,半径。圆心决定位置,半径决定大小)那么我们能否在圆心与半径确定的条件下,找到一个方程与圆对应呢?这就是我们这节课的主要任务。 

(二)圆的标准方程

1.圆的概念

平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。定点是圆心,定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小。

2.推导圆的标准方程

圆的标准方程.jpg

求以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程。首先建立一个直角坐标系,设点M(x,y)是圆上任意一点,那点M在圆上的条件是|MC|=r,那么由我们已经学过的两点间的距离公式,所说条件可以转化为方程表示:

圆的标准方程.jpg

将上式两边平方得:

(x-a)2+(y-b)2=r2(1)

显然,圆上任意一点M的坐标(x,y)适合方程(1)。 

所以方程(1)是以C(a,b)为圆心、r为半径的圆的方程。我们把它叫做圆的标准方程。

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点?思考一下当圆心在原点时,x轴上,y轴上时,圆的方程是什么?

这是二元二次方程,点(a,b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径。

当圆心在原点时,方程为: x2+y2=r2

当圆心在x轴上时,方程为:(x-a)2+y2=r2 (r≠0)

当圆心在y轴上时,方程为:x2+(y-b)2=r2 (r≠0)

3.练习

解题思路:圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆。只要a,b,r三个量确定了且r>0,圆的方程就确定了。所以要确定圆的方程,必须确定a、b、r这三个量,可根据题目所给条件,利用待定系数法来解决。

例1:已知两点 P1(4,9),P2(6,3),求以线段 P1P2 为直径的圆的方程,并判断点 M(6,9)在圆上、在圆内、还是在圆外?        

例2:已知ΔAOB的顶点坐标分别是 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求ΔAOB外接圆的方程。

四、教学总结:

1.让学生在已有认知的基础上建构新知识,从而达到概念的自然形成,并启发学生运用概念探究问题。

2.在练习过程中检验学生的学习情况,有针对性地进行答疑和讲解,巩固知识。通过一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,使学生的有效思维量加大。

3.引导学生进行反思总结,对学生的反思总结进行整理和升华,让学生意识到学习中反思和总结的重要性,并最终体会到自主学习的重要性。

圆的标准方程是高中数学几何代数部分的重点内容,有一定难度,在课后要注意及时收集学生的反馈信息,做出教学调整。


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