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福建教师招考信息网整理推荐:柯西不等式

发布时间: 2017-11-02 10:52:43

修改时间: 2017-11-10 16:06:52

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柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用。所以在高中数学提升中非常重要,是高中数学研究内容之一。今天福建教师招考信息网小编就对此做了一个整理,具体内容如下:

一、二维形式的柯西不等式

201312222248032717125.jpg

二、二维形式的柯西不等式的向量变形

201312222248040516977.jpg

 

三、柯西不等式的推广

 201312222248043956745.jpg

201312222248046753697.jpg 

四、二维形式的柯西不等式的变式

 2013122222480544023459.jpg

五、柯西不等式的应用例子

1.巧设常数证不等式

例:设a、b、c为正数且互不相等,求证:9213b07eca806538e149e93494dda144ad348272.jpg

证明:将a+b+c移到不等式的左边,化成:

 QQ截图20171031104111.png

6a600c338744ebf8cd413c70def9d72a6059a749.jpg 由于a、b、c为正数且互不相等,等号取不到。

附用基本不等式证 设 ,则所证不等式等价于

 

因为 QQ截图20171031104111.png 。

所以上式显然成立。

2.求某些函数最值

例:求函数  的e61190ef76c6a7efc554e301fefaaf51f3de66a2.jpg最大值。

函数的定义域为[5,9],y>0,由柯西不等式变形 faf2b2119313b07e8dd07db80bd7912397dd8c14.jpg

则 35a85edf8db1cb1301955d3ede54564e92584b1a.jpg 。

函数仅在 0e2442a7d933c895a1ecda53d21373f082020003.jpg ,即 f31fbe096b63f624032fd7928344ebf81a4ca335.jpg 时取到。

福建教师招考信息网认为,柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据,技巧以拆常数,凑常值为主。

 

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