发布时间: 2019-09-28 12:04:30
修改时间: 2019-09-28 12:04:30
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作者: 骆驼
不等式作为中学数学的一个难点,需要理解的地方较多。本文根据福建教师招考中数学考试大纲的要求,梳理了不等式的常考知识点,快来一起学习吧!
一、不等式的基本性质
1.特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。
2.注意课本上的几个性质,另外需要特别注意:
①若ab>0,则。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。
③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象),直接比较大小。
④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小
二、均值不等式
两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:
注意:①一正二定三相等;②积定和最小,和定积。
常用的方法为:拆、凑、平方;
三、证明不等式常用方法
1.比较法:作差比较
作差比较的步骤:
(1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。
(2)变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。
(3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。
2.综合法:由因导果。
3.分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……,只需证……
4.反证法:正难则反。
5.放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有: (1)添加或舍去一些项,(2)将分子或分母放大(或缩小) (3)利用基本不等式,
6.换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元。
7.构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
四、不等式的解法
1.一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论:
2.绝对值不等式
注意:(1)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,
去绝对值的方法有:
①对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;
②通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
③含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
④分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;
⑤不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。
⑥解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.
遇到下述情况则一般需要讨论:
①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△),比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数,要讨论。
福建教师招考为您整理了不等式的初步知识,希望可以对考生有所帮助。
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