函数的每一个性质都需要详细讲解才能让学生听懂，也是后期学习复杂函数的基础。本文根据福建教师招考里中学数学考试大纲的要求，梳理了《函数的单调性》教案，快来一起学习吧！

一、教学目标

（一）知识与技能

（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征

（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性

（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力

（二）过程与方法

（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念

（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学

（三）情感、态度与价值观

（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳

（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达

二、教学重难点

（一）重点

借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题

（二）难点

（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述

（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取x1，x2，且x1<x2”的理解）

三、教学过程

（一）由特殊到一般，引入课题

学生画图y=x与y=-x，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受.

提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中x和y的对应来表达这种变化的规律？

（二）新课教学

老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x越来越大的情况下，上升意味着函数值越来越大，下降意味着函数值y越来越小.）

一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调区间.

增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.

（三）重点强调1——单调区间

例1 图1.3-4是定义在区间[-5,5]上的函数y=f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？

注记：

①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.

②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号∪、“或”字，加一个逗号就行了.（因为[-2,1]∪[3,5]代表的是一个集合，任取x1，x2的时候有可能是x1∈[3,5]而x2∈[-2,1]，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.

③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域{1,3,5,7}是不谈单调性的.

（四）重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小

例2 物理学中的玻意尔定律p=k/v（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积v减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之

由于k为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量x1,x2，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明.

（五）总结——利用定义判别单调性的一般步骤

结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系.

重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.

第一，在指定区间任意取x1,x2，并且x1<x2.

第二，做差y1-y2=…，为了便于判断符号必须变形至①出现x1-x2，②出现多项式乘除的形式.

第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意逻辑！

本文根据福建教师招考的要求，为您整理了《函数的单调性》教案，希望可以对准教师的考试有所帮助。

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